Progressão aritmética

PROGRESSÃO ARITMÉTICA"

Progressão aritmética é definida como uma sequencia numérica que, em cada termo a parti do segundo membro será a soma dele com uma constante, Na P.A essa constante  é chamada de razão (r), sendo a mesma obtida por meio da diferença de um termo da sequência pelo seu anterior.

Note a seguinte sequências :

(1, 5, 9, 13, 17, 21) é uma P.A., pois a sua razão será dada da seguinte forma.

r = 5 – 1 = 4 ou

r = 9 -5 = 4

(1, 8, 15, 22, 29…) é uma P.A., pois a sua razão será dada da seguinte forma.

r = 8 – 1 = 7 ou

r = 22 – 15 = 7

Classificações de uma  P.A.

Crescente:  Uma P.A. é crescente quando a sua razão (r) for positiva, ou seja, r > 0. Essa sequência numérica será crescente quando, cada termo a partir do segundo for maior que o antecessor. Exemplo: (25, 29, 33, 37 …) é uma P.A crescente de razão 4.

Decrescente: Uma P.A. será decrescente se a sua razão (r) for negativa, ou seja, r < 0. A sequência numérica será decrescente quando, cada termo a partir do segundo for menor que o antecessor. Exemplo: (10, 0, -10, -20…) é uma P.A decrescente de razão – 10.

Constante:  Uma P.A é constante quando a sua razão for nula, ou seja, r = 0. Todos os seus termos serão iguais. Exemplo: (7, 7, 7, 7 …) é uma P.A constante de razão nula.

Termo geral de uma PA

an = a1 + ( n – 1 )  . r

an = termo geral

a1 = primeiro termo da sequência

n = números de termos de uma P.A.

r = razão

Exemplos:

Determinar o 12° da PA ( 2, 5, 8, 11 ).

dados da questão:

a1 = 2 

r = 5 – 2 = 3

a12 = ?

n = 12

Aplicando na formula

a12 =  2  + ( 12 – 1 ) . 3

a12 =  2 + 11 . 3

a12 = 2 + 33

a12 = 35

Determinar o número de termos da P.A. ( 3, 7, 11, … , 79 ).

dados da questão

an = 79

a1 = 3

n = ?

r = 7 – 3 = 4

aplicando a formula temos

79 = 3 + ( n – 1 ) . 4

79 = 3 + 4n – 4

79 + 1 = 4n

n = 80 / 4

n = 20

Portanto o número de termos da P.A. é igual a 20.

Propriedades da P.A.

Seja uma P.A. qualquer de n termos e de razão r

1 – a partir do segundo termo de uma P.A., qualquer termo é dado pela média aritmética entre o anterior e posterior.

ak = ak1 – 1+ ak + 1/2 , (k≥2)

Observe a aplicação da propriedade

Dada a seguinte P.A. ( 3, 5, 7, 9, 11, 12 )

a4 = a3 + a5 / 2

a4 = 7 + 11 / 2

a4 = 9

2 – A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

a1, a2, a3, a4, … , an-3, an-2, an-1, an

a2 + an-1 = a3 + an-2 = a4 + an-3, … , = a1 + an

Note a seguinte P.A. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23), temos:

3 + 21 = 1 + 23 = 24
5 + 19 = 1 + 23 = 24
7 + 17 = 1 + 23 = 24
9 + 15 = 1 + 23 = 24
11 + 13 = 1 + 23 = 24

Se tivermos casos em que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA.

Dada a seguinte P.A. ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 ) tem 7 termos, onde termo central é 13, logo:

a4 = a1 + a7 /2 = 1 + 25 /2 = 13

Soma dos termos de uma PA finita é dada pela seguinte formula:

sn = ( a1 + an ) . n /2

onde:

sn = soma dos n termos da P.A.

a1 = primeiro termo de uma P.A.

an = último termo de uma P.A.

n = número de termo de uma P.A.