Permutação circular

Permutação circular é um tipo de permutação composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica, isso acontece quando temos grupos com m elementos distintos formando

Representado pela formula:



Exemplo: dado um conjunto qualquer com 6 pessoas, de quantos modos distintos esta pessoas poderão sentar-se juntas em uma mesa circular sem que aja repetição das posições?

Aplicando a formula, temos:

P(6) = (6 - 1)! = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Atividades:

Quantas e quais possibilidades temos ao lançarmos uma moeda e um dado?

Com os algarismos 3, 4, 6 e 7 quantos algarismos podemos formar com 4 números?

Quantos e quais são os números de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 2, 5 e 7?

Maria convidou oito meninas e doze meninos para sua festa de aniversário. Contando com ela, quantos casais podem ser formados?

Ao lançarmos um dado três vezes, quantas e quais são as possibilidades de ocorrência dos números?

Um edifício possui quatro portas de entrada e cinco elevadores. De quantas maneiras uma pessoa pode chegar ao 15º andar?

Quantos divisores tem os seguintes números:

a) 200       b) 500       c) 800      d) 1200           e) 2000          f) 5000

Limite

$$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^2-1}{x - 1} = 2$$

Propriedades de limites

Exercícios de progressão aritmética

ATIVIDADES

As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x e x2 – 5 e estão em P.A., nessa ordem. Calcule o perímetro do triângulo.

Encontrar o termo geral da P.A. (4, 7, …).

Determinar o número de termos da P.A. (-3, 1, 5, …, 113).

Numa P.A. o vigésimo termo é 157 e o primeiro termo é 5. Qual é a razão dessa P.A.?

Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

Numa P.A. a10 = 130 e a19 = 220. Calcular o quarto termo da P.A.

Numa P.A. crescente de 5 termos, o último e o primeiro termos são, respectivamente, as raízes da equação x2 – 12x – 64 = 0. Calcule a razão dessa P.A.

Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?

Numa P.A., o sexto termo é igual a 12 e o décimo termo é igual a 26. Calcule o primeiro termo e a razão dessa P.A.

Quantos são os números naturais, menores que 98 e divisíveis por 5?

Numa P.A. de razão 5, primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44?

Quantos meios aritméticos devemos interpolar entre 100 e 124 para que a razão seja 4?

Interpole cinco meios aritméticos entre 6 e 30.

Interpolando nove meios aritméticos entre 15 e 45, qual será o sexto termo da P.A.?

Ache a soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 50 e 300.

Ao se efetuar a soma de 50 parcelas da P.A. (202, 206, …), por distração não foi somada a 35ª parcela. Qual foi a soma encontrada?

Quantos são os múltiplos de 8 compreendidos entre 100 e 1000?

Numa P.A. crescente, a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35. Determine o 1º termo e a razão dessa progressão.

Numa P.A. crescente de seis termos, os dois primeiros termos são as raízes da equação x2 – 10 x + 24 = 0. Determine o último termo dessa P.A.

Numa progressão aritmética de 7 termos, a soma dos dois primeiros é 14 e a dos dois últimos é 54. Calcule a razão e o último termo dessa P.A

Interpole 6 meios aritméticos entre 100 e 184.

Calcule a soma dos 50 primeiros termos da P.A. (2, 6, …)

Resolva a equação 2 + 5 + 8 + …+ x = 77, sabendo que os termos do 1° membro estão em P.A.

Numa P.A., a3 + a6 = 34 e a4 + a9 = 50. Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa P.A.

Calcule a razão de uma P.A., cuja soma dos n primeiros termos é expressa por Sn = n2 + 4n, para todo n natural.

Obtenha a P.A. em que a10 = 7 e a12 = –8

Determine x de modo que (x, 2x + 1, 5x + 7) seja uma P.A.

Determine a de modo que (a2, (a + 1)2, (a + 5)2) seja uma P.A.

Calcule o 17º termo da P.A. cujo primeiro termo é 3 e cuja razão é 5.

Obtenha a razão da P.A. em que o primeiro termo é –8 e o vigésimo é 30.

Obtenha a razão da P.A. em que a2 = 9 e a14 = 45.

Obtenha o primeiro termo da P.A. de razão 4 cujo 23º termo é 86.

Qual é o termo igual a 60 na P.A. em que o 2º termo é 24 e a razão é 2?

Progressão aritmética

PROGRESSÃO ARITMÉTICA"

Progressão aritmética é definida como uma sequencia numérica que, em cada termo a parti do segundo membro será a soma dele com uma constante, Na P.A essa constante  é chamada de razão (r), sendo a mesma obtida por meio da diferença de um termo da sequência pelo seu anterior.

Note a seguinte sequências :

(1, 5, 9, 13, 17, 21) é uma P.A., pois a sua razão será dada da seguinte forma.

r = 5 – 1 = 4 ou

r = 9 -5 = 4

(1, 8, 15, 22, 29…) é uma P.A., pois a sua razão será dada da seguinte forma.

r = 8 – 1 = 7 ou

r = 22 – 15 = 7

Classificações de uma  P.A.

Crescente:  Uma P.A. é crescente quando a sua razão (r) for positiva, ou seja, r > 0. Essa sequência numérica será crescente quando, cada termo a partir do segundo for maior que o antecessor. Exemplo: (25, 29, 33, 37 …) é uma P.A crescente de razão 4.

Decrescente: Uma P.A. será decrescente se a sua razão (r) for negativa, ou seja, r < 0. A sequência numérica será decrescente quando, cada termo a partir do segundo for menor que o antecessor. Exemplo: (10, 0, -10, -20…) é uma P.A decrescente de razão – 10.

Constante:  Uma P.A é constante quando a sua razão for nula, ou seja, r = 0. Todos os seus termos serão iguais. Exemplo: (7, 7, 7, 7 …) é uma P.A constante de razão nula.

Termo geral de uma PA

an = a1 + ( n – 1 )  . r

an = termo geral

a1 = primeiro termo da sequência

n = números de termos de uma P.A.

r = razão

Exemplos:

Determinar o 12° da PA ( 2, 5, 8, 11 ).

dados da questão:

a1 = 2 

r = 5 – 2 = 3

a12 = ?

n = 12

Aplicando na formula

a12 =  2  + ( 12 – 1 ) . 3

a12 =  2 + 11 . 3

a12 = 2 + 33

a12 = 35

Determinar o número de termos da P.A. ( 3, 7, 11, … , 79 ).

dados da questão

an = 79

a1 = 3

n = ?

r = 7 – 3 = 4

aplicando a formula temos

79 = 3 + ( n – 1 ) . 4

79 = 3 + 4n – 4

79 + 1 = 4n

n = 80 / 4

n = 20

Portanto o número de termos da P.A. é igual a 20.

Propriedades da P.A.

Seja uma P.A. qualquer de n termos e de razão r

1 – a partir do segundo termo de uma P.A., qualquer termo é dado pela média aritmética entre o anterior e posterior.

ak = ak1 – 1+ ak + 1/2 , (k≥2)

Observe a aplicação da propriedade

Dada a seguinte P.A. ( 3, 5, 7, 9, 11, 12 )

a4 = a3 + a5 / 2

a4 = 7 + 11 / 2

a4 = 9

2 – A soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

a1, a2, a3, a4, … , an-3, an-2, an-1, an

a2 + an-1 = a3 + an-2 = a4 + an-3, … , = a1 + an

Note a seguinte P.A. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23), temos:

3 + 21 = 1 + 23 = 24
5 + 19 = 1 + 23 = 24
7 + 17 = 1 + 23 = 24
9 + 15 = 1 + 23 = 24
11 + 13 = 1 + 23 = 24

Se tivermos casos em que uma PA tenha número de termos ímpar, existirá um termo central que será a média aritmética dos extremos desta PA.

Dada a seguinte P.A. ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25 ) tem 7 termos, onde termo central é 13, logo:

a4 = a1 + a7 /2 = 1 + 25 /2 = 13

Soma dos termos de uma PA finita é dada pela seguinte formula:

sn = ( a1 + an ) . n /2

onde:

sn = soma dos n termos da P.A.

a1 = primeiro termo de uma P.A.

an = último termo de uma P.A.

n = número de termo de uma P.A.

Matemática financeira

Juros simples

juros compostos

M = C. ( 1 + I ) .T

M = MONTANTE OU VALOR FINAL

C = CAPITAL

I = TAXA

T = TEMPO

Desconto comercial simples

D = N.I.n

D = VALOR DO DESCONTO

N= VALOR NOMINAL DO TÍTULO 

I = TAXA DE DESCONTO

n = TEMPO ( ANTECIPAÇÃO DO DESCONTO)

NOTE

com base na expressão acima podemos escrever a seguinte expressão matemática.

A = N - D

substituído o D na expressão temos.

A = N - N.I.n

colocamos o N em evidencia temos,

A = N (1 - I.n )

1. Em quanto tempo um capital triplica de valor á taxa de 20% ao ano?

2. E mais vantajoso empregar R$ 5.260,00 á 24% ao ano ou R$ 3.510,00 a 22% ao ano e o restante a 28% ao ano?

3. Um título, no valor nominal de R$ 8.400,00, com vencimento em 18/10, é resgatado em 20/07. Se a taxa de juro contratada foi de 54% ao ano, qual ´e o valor comercial descontado?

4. Um título de R$ 4.800,00 foi resgatado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial ´e de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipa¸c˜ao do resgate.

5. O montante de uma aplicação por 4 meses é de R$ 42.336,00; por 9 meses, á mesma taxa, é de R$ 46.256,00. Calcule a taxa comum e a aplicação inicial.

6. Um comerciante pagou 30% de uma dívida; do restante, pagou 20% e com R$ 28.000,00 liquidou a dívida. Determine o valor da dívida.

7. Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com um prejuízo de 12% sobre o pre¸co de venda. Qual o valor apurado na venda?

Exercícios de trigonometria